Cho x,y,z > 0, x + y + z \(\ge\)1 . Chứng minh :
\(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\ge1\)
Những câu hỏi liên quan
cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1.chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)
1:Cho x;y0:frac{2}{x}+frac{3}{y}6.Tìm min Px+y
2:Cho x;y;z0:x+y+zle1.Chứng minhsqrt{x^2+frac{1}{x^2}}+sqrt{y^2+frac{1}{y^2}}+sqrt{z^2+frac{1}{z^2}}gesqrt{82}
3:cho a;b;c;d0.Chứng minhfrac{a^2}{b^5}+frac{b^2}{c^5}+frac{c^2}{d^5}+frac{d^2}{a^5}gefrac{1}{a^3}+frac{1}{b^3}+frac{1}{c^3}+frac{1}{d^3}
4:Tìm max,min yx+sqrt{4-x^2}
5:Cho age1;bge1.Chứng minh asqrt{b-1}+bsqrt{a-1}le ab
6:Chứng minh:left(ab+bc+caright)^2ge3text{a}bcleft(a+b+cright)
Đọc tiếp
1:Cho x;y>0:\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\).Tìm min P=x+y
2:Cho x;y;z>0:x+y+z\(\le\)1.Chứng minh\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
3:cho a;b;c;d>0.Chứng minh\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
4:Tìm max,min y=x+\(\sqrt{4-x^2}\)
5:Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
6:Chứng minh:\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\text{a}bc\left(a+b+c\right)\)
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
5.
\(\frac{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}{ab}=\frac{1.\sqrt{b-1}}{b}+\frac{1.\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1+b-1}{2b}+\frac{1+a-1}{2a}=1\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
6. Áp dụng BĐT cơ bản:
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\left(ab.bc+bc.ca+ab+ca\right)\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
cho zx,y,z >0 thoả mãn x+y+z=1 chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)
ai nhanh cho 3 tick
Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z>0 và xyz=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^4+2}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)
Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))
Cho x,y,z > 0 thỏa xy+yz+zx=xyz. Chứng minh:
\(\frac{x^4+y^4}{xy\left(x^3+y^3\right)}+\frac{y^4+z^4}{yz\left(y^3+z^3\right)}+\frac{z^4+x^4}{zx\left(z^3+x^3\right)}\ge1\)
Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 2008
Chứng minh : \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{x^4+z^4}{x^3+z^3}\) ≥ 2008
Ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Σ\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\)\(\ge x+y+z=2008\)
4 tháng 1 2020 lúc 23:15
1. Cho a,b,c 0. Cmr: a) frac{bc}{a^2+2bc}+frac{ca}{b^2+2ca}+frac{ab}{c^2+2ab}le1
b) frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}lefrac{a+b+c}{4}
2. Cho x,y,z0;x+frac{y}{3}+frac{z}{5}ge3;frac{y}{3}+frac{z}{5}ge2;frac{z}{5}ge1.MaxPx^2+y^2+z^2
3. Cho x0;yge2;2x+y+xyge6.MinPx^3+y^2
4. Cho 0 alpha beta gamma. Giả sử x,y,z 0 TM zgegamma;frac{x}{alpha}+frac{y}{beta}+frac{z}{gamma}+frac{xyz}{alphabetagamma}4;frac{y}{beta}+frac{z}{gamma}+frac{yz}{betagamma}3.MinPx^3+y^...
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.
Bài 1:
a)
\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 2/Áp dụng BĐT Bunyakovski:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+3^2+5^2\right)\ge\left(x+3y+5z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+3y+5z\right)^2}{35}\) (*)
Ta có: \(x+3y+5z=x.1+\frac{y}{3}.9+\frac{z}{5}.25\)
\(=\frac{16z}{5}+8\left(\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\right)+1\left(\frac{z}{5}+\frac{y}{3}+x\right)\)
\(\ge16+8.2+1.3=35\). Thay vào (*) là xong.
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y =3; z = 5
No choice teen, Akai Haruma, Arakawa Whiter, Phạm Lan Hương, soyeon_Tiểubàng giải, tth, Nguyễn Văn Đạt
giúp em với ạ! Cần gấp lắm! Thanks nhiều!
Xem thêm câu trả lời
cho x,y,z >0 và x+y+z=1
chứng minh: \(\frac{x}{y\left(z+1\right)}+\frac{y}{z\left(1+x\right)}+\frac{z}{x\left(1+y\right)}\ge\frac{9}{4}\)
Ghi chú: Này, mình mới lớp 6, nên giải chưa biết chắc là đúng hay sai nên lỡ có sai thì bạn đừng trách mình nhé!
Đặt \(A=\frac{x}{y\left(z+1\right)}+\frac{y}{z\left(x+1\right)}+\frac{z}{x\left(y+1\right)}\le\frac{9}{4}\)(Sửa đề)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a,b dương và x + y + z = 1,ta có:
\(\frac{4}{y\left(z+1\right)}=\frac{4}{y\left(z+x+y+z\right)}=\frac{4}{y\left(\left(z+x\right)+\left(z+y\right)\right)}\le\frac{4}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\)
Nhân hai vế với số dương xy, ta được:
\(\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\). Do đó:
\(4A=\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}+\frac{4yz}{z\left(x+1\right)}+\frac{4zx}{x\left(y+1\right)}\)
\(\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+\frac{4yz}{z}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{4zx}{x}\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=4x\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+4y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+4z\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=\frac{4x}{z+x}+\frac{4x}{z+y}+\frac{4y}{x+y}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{y+z}+\frac{4z}{y+z}\)
\(\Rightarrow4A\le\frac{4x+4y}{z+x}+\frac{4y+4z}{z+y}+\frac{4z+4x}{x+y}=x+y+z=9\)
Do : \(4A\le9\)nên \(A< \frac{9}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{x+y+z}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\)
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{x+y+z}\right)\geq (x+y+z)\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow 12+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 12+\frac{4x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{y}{x}+\frac{y}{z}-\frac{4y}{x+z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}-\frac{4z}{x+y})+(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{4x}{y+z})\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{y(x-z)^2}{xz(x+z)}+\frac{z(x-y)^2}{xy(x+y)}+\frac{x(y-z)^2}{yz(y+z)}\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $x,y,z>0$)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$